Jika kita berbicara tentang ruang vektor,pasti tidak akan lepas dari basis dan dimensi.Sebelum kita lanjut ke contoh soal,teknik perhitungan dan lain – lain.Ada baiknya kita harus paham dan tahu “Apa itu basis dan dimensi?”.Oleh karena itu kita bahas pengertian dari basis dan dimensi terlebih dahulu.
1.Basis
Jika V yaitu ruang vektor dengan A = { v1, v2, v3, …, vn } dan v1, v2, v3, …, vn Î V maka dalam keadaan seperti ini,A bisa disebut sebagai basis tetapi ada syarat – syarat yang bisa menentukan apakah A disebut basis atau bukan,jika A disebut basis jika memenuhi syarat – syarat yaitu :
a. A itu termasuk bebas linear atau linear independent.
b. A itu membangun V.
Dari uraian di atas,pasti kita belum dapat memahami maksud dari syarat – syarat itu.Oleh karena itu,perhatikan penjelasan ini.
Sekedar mengingatkan,basis dari ruang vektor itu tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu basis.
Sebelumnya saya sudah membahas tentang syarat – syarat agar A bisa disebut basis.Langsung saja ke syarat yang pertama yaitu “A itu termasuk bebas linear atau linear independent”.Maksud dari ini adalah bilangan – bilangan yang termasuk di dalam A harus bebas linier atau dengan kata lain tidak boleh berkelipatan dengan himpunan yang lain.Tetapi ada kalanya bagaimana jika kita menemukan dua himpunan vektor atau lebih yang berkelipatan.Kondisi seperti ini disebut bergantung linier.Tetapi suatu himpunan bisa juga disebut bergantung linier jika terdapat himpunan vektor yang anggotanya mengandung nol.Jika ini terjadi berarti kedua himpunan tersebut bukan bersifat bebas linier dan berarti tidak dapat disebut basis.
Contoh Soal :
Selidiki dan tentukan apakah himpunan vektor – vektor dibawah ini bebas linier atau bergantung linier ?
a. A = {2,2,3} dan B = {3,1,2}
b. B = {2,3,4} dan C = {4,6,8}
c. U = {3,-1,4,5} dan V = {1,2,1,6}
d. U = {1,2,3} V = {2,3,7} dan W = {0,0,0}
e. U = {5,2,3} V = {1,7,2} dan W= {10,4,6}
Jawab :
a. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier karena semua anggota himpunannya tidak berkelipatan.
b. Himpunan vektor ini disebut bergantung linier karena semua anggota himpunannya berkelipatan satu sama lain yaitu C=2B.
c. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier karena semua anggota himpunannya tidak berkelipatan.
d. Jika ada himpunan yang mengandung nol berarti disebut bergantung linier walaupun himpunan lain bebas linier tetapi jika ada himpunan yang mengandung nol tetap disebut bergantung linier.
e. Jika kita menemukan soal seperti ini yang terdiri dari tiga himpunan bahkan ada yang lebih.Dan kondisinya dimana dari tiga himpunan vektor tersebut,hanya ada dua yang berkelipatan yaitu (U dan W) dan yang selain itu himpunannya yaitu (V) bersifat bebas linier.Disini,jawabannya yaitu bergantung linier karena sebagian bergantung linier atau dengan kata lin,lebih dominan bergantung linier maka seluruhnya ikut bergantung linier.
Lalu lanjut penjelasan bahasan syarat ke dua yaitu dimana A harus membangun V.Kita misalkan seperti ini:
Misalkan x={1,1,3} y={3,4,6} z={2,3,3}
Jawab: A membentuk ruang vektor V(A)=V{x,y,z}.Ini berarti A={x,y,z} adalah system pembentuk dari V.Pertama – tama kita harus teliti dahulu bahwa y=x+z,ini berarti {x.y,z} itu bergantung linier.Berarti x dan z bebas linier karena tidak berkelipatan.Jadi, x dan z adalah system pembentuk bebas linier yang juga merupakan basis dari V.Dari sini,kita juga dapat menentukan bahwa dimensi dari A adalah 2.
Keterangan : Kita boleh memilih basis V yang lain yaitu himpunan 2 vektor dari anggota V yang bebas linier {x,y} atau {y,z}.
CONTOH SOAL :
Apakah himpunan vektor – vektor dibawah ini termasuk basis R3 ?
a. {2,1,3} dan {,1,3,4}
b. {1,2,3} {2,1,2} {1,1,1}
JAWAB :
a. Himpunan vektor ini tidak termasuk basis R3 karena dimensi R3 harus terdiri dari tiga vektor,sedangkan disini hanya dua vektor.Tetapi sebenarnya ini bisa termasuk R2 karena terdiri dari dua vektor.
b. Pertama kita tentukan himpunan ini bebas linier atau tidak.Secara langsung sebenarnya kita sudah dapat mengetahui bahwa himpunan – himpunan tersebut bebas linier karena tidak berkelipatan.Selain itu,dapat juga termasuk basis R3 karena terdiri dari tiga vektor.Jadi himpunan – himpunan tersebut termasuk basis R3.
2. DIMENSI
Kita dapat mengetahui nilai dari suatu dimensi pada suatu himpunan atau basis dari jumlah vektor – vektor tersebut.Atau dengan kata lain misalkan V adalah suatu ruang vektor,A = {v1,v2,v3,…vn} basis dari V.Dimensi dari V itu = n (banyaknya vektor – vektor di A).
CONTOH SOAL :
Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
a. A={1,2,3} B={2,2,3} C={2,1,2}
b. A={1,2,3} B={2,4,6} C={2,3,5}
c. A={2,3,4} B={4,6,8} C={6,9,12}
JAWAB :
a. Ketiga himpunan diatas termasuk vektor yang bersifat bebas linier.Oleh karena itu dimensinya adalah 3 dan basis adalah {A,B,C}.Ketiganya termasuk basis karena bebas linier.
b. Dari himpunan – himpunan di atas,dua vektor yaitu {A,B} bergantung linier karena berkelipatan.Karena lebih dominan bergantung linier sehingga {A,B,C} bergantung linier.Tetapi karena yang dapat dikatakan sebagai basis harus bersifat bebas linier sehingga kita dapat mengambil dua vektor yang bebas linier yaitu {A,C}.Berarti dimensi adlah 2 karena vektor yang termasuk basis ada 2.Jadi basisnya adalah {A,C}.
c. Ketiga vektor – vektor diatas berkelipatan sehingga bergantung linier.Karena dari itu,kita hanya dapat mengambil satu vektor yang bebas linier yaitu {C}.Jadi dimensi adalah 1 dan basisnya adalah {C}.
